“You’re going to play video games all night even though the test is tomorrow? Oh well, it’s no skin off my nose.”
If someone is doing something that might cause harm to them, but won’t affect us, we say it’s “no skin off our nose”. The speaker won’t be hurt—the skin on their nose won’t be damaged. The person making the decision to stay up and not study might be hurt, but it won’ t affect the speaker.
「テスト前だというのに徹夜でゲームするつもり?まあ、勝手にしろ。」
誰かがその人自身に害を与えるような行動をしようとしていて、話し手には害はないという状況で使う表現です。“no skin off our nose”話し手の鼻に傷はつかない―つまり影響がないということです。勉強せずに徹夜する人には害があるかもしれませんが話し手には関係ありません。