“If I may go out on a limb, I would say it’s possible he’s lying.” 「嫌な事を言うけれど、彼が嘘をついているという可能性があります。」
枝の上に出るというイディオムは、聞いている人が怒りそうなことを言うことです。木の枝の上で幹から離れてもっと細いところまでいきます。折れて落ちてしまうリスクがあります。
When you “go out on a limb” you say something that you expect people might not like. The image is of climbing out on the branch (limb) of a tree, away from the trunk, where the branch is thinner. It could break and drop you.
