“Try this new tea.”

“Hmm. No, I don’t care for that at all.”

By adding “for” to “I don’t care”, you change the meaning. To not care for something is to not like it or dislike it. For example, “I don’t care for action movies.”

「新しいお茶飲んでみて。」

「ふーん、いや、好きではない。」

「どうでもいい」という意味の「I don’t care」に「for」をつけることで意味を変えます。何かを「not care for」はそれを好きではないもしくは嫌いであることです。例えば、「私はアクション映画が苦手です。」