“I can’t come to the party today. I’ve come down with a bad cold.”

“Come down with” means to get a disease. You might come down with a cold, the flu, measles or another disease. If you don’t know what sickness you have, you can just say, “I’ve come down with something.”

「今日はパーティに行けません。ひどい風邪にかかりました。」

「Come down with」は病気にかかるという意味で使います。風邪、インフルエンザ、はしか、などの病気にかかることがあります。何の病気かわからないばあいは、「何かにかかった」とだけ言えばいいです。